Ecuación de difusividad y soluciones.

Para la mayoría de los fluidos hidrocarburos, el esfuerzo de corte y la tasa de corte pueden describirse mediante la ley de fricción de Newton la cual combinada con la ecuación de movimiento resulta en la bien conocida ecuación de Navier-Stokes. La solución de dicha ecuación para las condiciones de frontera apropiadas da lugar a la distribución de velocidad del problema dado. Sin embargo, la geometría de los poros, no permite la formulación adecuada de las condiciones de frontera a través del medio poroso. Luego, una aproximación diferente se debe tomar. Darcy descubrió una relación simple entre el gradiente de presión y el vector velocidad para una sola fase.

La ecuación de difusividad es unión de varias ecuaciones que describen los procesos físicos del movimiento del fluido dentro del reservorio.

Combina la ecuación de continuidad (que es el principio de la conservación de la masa, de la cual se obtiene la ecuación de balance de materiales), la ecuación de flujo (ecuación de Darcy) y la ecuación de estado (compresibilidad).

Limitaciones de la ecuación de difusividad

a) Medio poroso isotrópico, horizontal, homogéneo, permeabilidad y porosidad constantes.
b) Un solo fluido satura el medio poroso.
c) Viscosidad constante, fluido incompresible o ligeramente compresible.


d) El pozo penetra completamente la formación. Fuerzas gravitacional despreciables.


e) La densidad del fluido es gobernada por la siguiente ecuación:



Donde ρ= densidad, ρi= densidad a pi y c= compresibilidad.

En esta ecuación se toma en cuenta que la presión del fluido siempre es mayor que la del punto de burbujeo.



Aplicando la Ley de Darcy y considerando el flujo horizontal lineal que resulta de la expansión de un fluido que se encuentra inicialmente a una presión po.





Sea ρ = densidad promedia del fluido en los intervalos correspondientes dx y dt.



donde,
m1 = masa que pasa por el plano 1 en dt


m2 = masa que pasa por el plano 2 en dt






Masa neta actual que sale de


La pérdida de peso del fluido entre los planos 1 y 2 para una caída de presión . Igualando el peso neto actual que fluye con la pérdida de peso del fluido en el intervalo dx, se tiene:







Sustituyendo por su valor en , se obtiene:







Esta ecuación se conoce con el nombre de ecuación de difusividad para flujo lineal.



Para determinar la ecuación de difusividad para flujo radial se puede transformar la ecuación de difusividad para flujo lineal en:



Luego se cambia las coordenadas cartesianas a radiales cilíndricas, la ecuación de difusividad para flujo radial se transforma en:





Soluciones para la ecuación de difusividad.



1.Estado estable:



Integrando:


Aplicando la Ley de Darcy:


Aplicando las ecuaciones anteriores:



Sustituyendo en

Separando variables: Integrando:


2.Estado pseudoestable:

Sustituyendo:

Separando:


Después de integrar:

Aplicando la condicion de frotera r=re, dP/dr=0 porque el sistema es cerrado:

Luego:

Separando:

Integrando:

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